[백준] 동적계획법 - 1904. 01타일

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

 

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다.(N ≤ 1,000,000)

 

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

예제 입력1

4

 

예제 출력1

5

 

생각

목표 : 지원이가 만들 수 있는 타일 수를 세자. 규칙찾기.

 

N=1 -> 1                                                                                  

(a,b) (0,1)                                                                           

N=2 -> 00, 11

(a,b) (1,0) (0,2)        

N=3 -> 001, 100, 111 

(a,b) (1,1) (0,3)     

N=4 -> 0000, 0011, 1001, 1100, 1111

(a,b) (2,0) (1,2) (0,4)     

N=5 -> 00001, 00100, 00111, 10011, 11001, 11111, 10000, 11100

(a,b) (2,1) (1,3) (0,5)   

 

f(1) = 1

f(2) = 1 + 1 = 2

f(3) = 2 + 1 = 3

f(4) = 1 + 3 + 1 = 5

f(5) = 3 + 4 + 1 = 8  

 

숫자에서 2를 나눠 => 00타일의 최대 갯수 => a

숫자에서 2로 나눈 나머지 => 1타일의 최소 갯수 => b

"같은 것을 포함하는 순열"  f(n) = (a+b)! / a! * b!

 

하여 이런식으로

첫번째로, 계산식을 찾아낼 수 있었고, 

두번째로, f(n) = f(n-1)+f(n-2) 라는 규칙도 찾을 수 있었다. 

 

먼저, 첫번째 방법을 이용해서 코드를 작성해 보았다.

#include <iostream>

using namespace std;
int n;
int a, b;
int cal(int a, int b);
int factorial(int num);

int cal(int a, int b){
    int result = 0;
    if(a == 0 || b == 0){
        return 1;
    }else{
        result = factorial(a+b)/factorial(a)/factorial(b);
        return result;
    }
}

int factorial(int num){
    int k;
    if(num == 0 || num == 1){
        return num;
    }else{
        k = num;
        for(int i=num-1; i>0; i--){
            k *= i;
        }
        return k;
    }
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int cnt = 0;
    cin >> n;
    
    a = n/2;
    b = n%2;
    
    for(int i=a; i>=0; i--){
        //cout << cal(i, b) << " "<< i <<" "<< b <<"\n";
        cnt += cal(i,b);
        b += 2;
    }
    
    if(a==1){
        cout << 1;
    }else{
         cout << cnt%15746 << "\n";
    }
}

런타임 에러가 떴다. 

 

그래서 두번째 방법으로 풀어보고자 하였다. 

#include <iostream>

#define max 1000001

using namespace std;

int n;

long long arr[max];

int result=0;



int main(int argc, const char * argv[]) {

    // insert code here...

    ios_base::sync_with_stdio(false);

    cin.tie(0);

    

    cin >> n;

    

    arr[0] = 0;

    arr[1] = 1;

    arr[2] = 2;

    

    if(n==1){

        cout << 1;

    }else if(n==2){

        cout << 2;

    }else{

        for(int i=3; i<=n; i++){

            arr[i] = arr[i-1] + arr[i-2];

        }

        result = arr[n] % 15746;

        cout << result;

    }

    cout << "\n";

}

테스트 케이스를 넣어봤을때는 답이 잘나왔는데, 이상하게 제출하니 틀렸다고 나왔다. 

 

모듈러 연산에 대한 이해가 부족했던 거 같다. 

(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m (mod는 % 연산과 같다. m:나누는 수)이기 때문에 틀렸다고 나오는 것이었다. 즉, 위에 작성한 코드에서 수정하자면 else문 안의 arr[i] = arr[i-1] % 15746 + arr[i-2] % 15746 으로 고쳐주거나 아래의 코드 처럼 작성해야한다. 

 

최종적으로 작성한 코드를 봤을 때는 어려운 문제는 아니었지만 추가적인 공부를 한 문제였다. 이산수학 공부한지가 오래되어서 기억이 가물가물했는데 모듈러 연산에 대해서 한번 더 정리해 볼 기회였다. 

※모듈러 연산

양의 정수 m에 대하여

- a ≡ b (mod m) 이고 c ≡ d (mod m) 이면, a + c ≡ b + d (mod m) 이고 ac ≡ bd (mod m) 이다.

 

- (a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m

- a x b mod m = ((a mod m) x (b mod m)) mod m

+ 해결)

피보나치 수의 경우, 46번째 수가 2,981,215,073 이 되어 int 형 범위(2,147,483,648 ~ 2,147,438,647) 를 초과한다. 

http://blog.naver.com/occidere/220787441430

[백준] 1904 - 01타일